הסתברות שבתחנה יש 0 מוניות ו- 0 נוסעים. הסתברות שבתחנה יש k-t נוסעים ו- 0 מוניות. λ λ λ λ λ λ λ λ P...

Transcript

1 שאלה תורת התורים קצב הגעת נוסעים לתחנת מוניות מפולג פואסונית עם פרמטר λ. קצב הגעת המוניות מפולג פואסונית עם פרמטר µ. אם נוסע מגיע לתחנה כשיש בה מוניות, הוא מייד נוסע במונית. אם מונית מגיעה לתחנה כשיש בתחנה נוסעים, היא מייד לוקחת נוסע אחד ונוסעת. אם נוסע מגיע לתחנה שבה יש c נוסעים ממתינים, הוא מייד עוזב בלי לקחת מונית. אם מונית מגיעה לתחנה בה ממתינות t מוניות, היא מייד עוזבת ריקה. מונית שהגיעה לתחנה, אספה נוסע ונסעה, איננה בהכרח חוזרת לתחנה. כלומר הגעת המוניות לתחנה הינה בלתי תלויה במוניות שעזבו את התחנה (וכאמור מתרחשת לפי תהליך פואסוני). הערות: א. ב. ג. ד. ה. ז. את התשובות ניתן לרשום כביטויים (ויתכנו בהחלט ביטויים ארוכים), אך אין להשאיר טורים בתשובה הסופית. רצוי לסמן ביטוי "ארוך" של התשובה ע"י סימון מתאים. ניתן ואף רצוי להסתמך בסעיפים הבאים על הסימון של התוצאה הרלוונטית מסעיפים קודמים ולא להעתיק את כל הביטוי. האם יתכן מצב בו שוהים בתחנה גם נוסעים וגם מוניות? אפיינו את המערכת היחס לאיפיון הכללי,M/M/K/N כלומר נסחו את האיפיון המתאים לבעיה. שרטטו דיאגראמת המצבים המתאימה למערכת ז מהי משמעות של כל מצב בדיאגראמה? חשבו את ההסתברויות של המערכת להיות בכל מצב. כמה נוסעים ממתינים בממוצע בתחנה? כמה מוניות ממתינות בממוצע בתחנה? מהו זמן ההמתנה הממוצע של הנוסעים במערכת? מוניות? מהו תנאי ליציבות המערכת? פתרון שאלה תורת התורים א) ב) ג) המצב לא יתכן כי אם יש בתחנה גם מונית וגם נוסע אז המונית מייד עוזבת עם הנוסע. למעשה המערכת המתוארת הינה מערכת M / M // c t (שרת יחיד ו- c t לקוחות לכל היותר). אפשר לצייר דיאגראמת המצבים שבה כל מצב i,j מתאר מצב בו במערכת יש I מוניות ו- j נוסעים אבל, קל יותר להשתמש במערכת בה כל מצב מתואר ע"י הסתברות : t- 0, הסתברות שבתחנה יש t- מוניות ו- 0 נוסעים הסתברות שבתחנה יש 0 מוניות ו- 0 נוסעים הסתברות שבתחנה יש -t נוסעים ו- 0 מוניות, = t, t+ t+c הערה: ניתן גם לתאר את המערכת ולפתור בדרכים אחרות. דיאגמת המצבים של המערכת הינה: λ λ λ λ λ λ λ λ 0 t- t t+ t+c- t+c

2 t c ct 0( ) ( ) 2 ct 0 ct ct בדומה למה שראינו בכיתה נקבל: n 0 n 0 ar r a r n ( r ) n n r ( n ) r 2 ( r) r ד) מספר ממוצע של מוניות בתחנה. נשתמש בתוצאות של חישוב הטורים הידועים: E ( ) ( t ) ( t ) t t t ct ct 0 0 t t t ct 0 0 t t t ct 0 t t t ct 0 t t t t( ) t Et ( ) ct 2 ( )

3 tc E ( ) ( t) ( t) tc c ct ct t t tc tc t ct t t tc t tc t ct 0 0 t ( ) ct tc t tc t t מספר ממוצע של נוסעים בתחנה tc tc t t t tc ( t c ) t t( ) Ec ( ) ct 2 2 ( ) ( ) c ( t c קצב הגעת נוסעים אשר עוזבים במונית ) קצב הגעת מוניות אשר עוזבות עם נוסע ) ) t 0 ה) E ( t) E ( ) / c c c E ( t) E ( ) / t t t ו) זמן המתנה ממוצע בתחנה של נוסעים זמן המתנה ממוצע בתחנה של מוניות ז) במקרה הזה המערכת היא סופית ולכן יציבה.

4 ד- שאלה 2 תורת התורים בבנק מסוים ישנו פקיד אחד ומנהל אחד. כל אחד מסוגל לטפל בלקוחות בקצב פואסוני עם ממוצע. לבנק מגיעים לקוחות בקצב פואסוני עם ממוצע. לקוח המגיע לבנק פונה אל הפקיד. במידה והפקיד פנוי, הוא מתחיל לטפל מיד בלקוח, אחרת הלקוח עוזב את הסניף. לאחר סיום הטיפול אצל הפקיד הלקוח מגלה בהסתברות p כי נגבתה ממנו עמלה גבוהה מדי ואז הוא פונה אל מנהל הסניף, אחרת (אם הכל בסדר) הלקוח עוזב את הסניף מרוצה. במידה והמנהל פנוי, הוא מתחיל לטפל מיד בלקוח ומסדיר את העניין, אחרת הלקוח עוזב את הסניף בזעם. נגדיר. נתאר את המערכת באמצעות תורת התורים. שרטטו דיאגראמת מצבים של המערכת. א. קבעו מהו תנאי היציבות של המערכת. ב. עפ"י המצבים שהגדרתם, מצאו את הסתברויות המצב היציב ג. השארת טורים לא מחושבים. מהו מספר הלקוחות הממוצע במערכת? ד. מהו הזמן הממוצע אותו מבלה הלקוח במערכת? ה. כפונקציה של ו- p בלבד וללא כעת נתון כי מנהל הסניף יצא לחופש ארוך והפקיד נותר לעבוד לבד. בנוסף מספר הלקוחות בתור כעת אינו מוגבל. והלקוחות הלא מרוצים חוזרים לסוף התור וממתינים לטיפול נוסף (מספר האיטרציות הנ"ל אינו מוגבל). ז. ח. חזרו על סעיפים א' '. מהו הזמן הממוצע אותו מבלים הלקוחות בתור? מהו המספר הממוצע של הלקוחות בתור? - מס' לקוחות אצל המנהל. פתרון שאלה 2 תורת התורים: א. דיאגראמת המצבים: נגדיר מצב i, j כאשר - i מס' לקוחות אצל הפקיד ו- j 0,0 p,0 p, 0,

5 ב. ג. המערכת עם מספר סופי של לקוחות ולכן תמיד יציבה. נמצא את הסתברויות המצב היציב. p p,0 0,0,,0 0,0, p p 0,0,0 0,, 0,0,0 0,, 0,0,0 0, 0,0,0 0, 0,,0, 0,,0,,,, 0,0,0 0,, p 2 2 p 2 2 p p 2 N 0 2 0,0 0,,0, ד. מספר לקוחות ממוצע במערכת: T N N 0,0 0, ה. הזמן הממוצע אותה מבלה הלקוח במערכת: כעת זוהי מערכת M/M/ הרגילה.. eff p eff ז. יציבות מושגת עבור כאשר מתקבל הסתברויות מצב יציב כמו במערכת רגילה אך עם, eff כנ"ל מספר לקוחות וזמן במער'. TQ ח. הזמן הממוצע אותו מבלים הלקוחות בתור: T N T Q Q ט. מספר ממוצע של לקוחות בתור:

6 שאלה 3 תורת התורים סטודנטים מגיעים לשעות קבלה באחד מהמשרדים לפי תהליך פואסוני עם קצב. כל סטודנט שמגיע רואה z או לעזוב כי במשרד כבר נמצאים סטודנטים ואז הוא מחליט להשאר ולהמתין בהסתברות בהסתברות. z זמן קבלת שירות הינו בלתי תלוי בין הסטודנטים ומפולג אקספוננציאלית עם ממוצע.. x 0! הנחיות: סמנו. e x זכרו כי אין להשאיר טורים שאינם מחושבים בתור תשובה סופית. א. ב. ג. ד. ה. שרטט את דיאגראמת המצבים המתאימה למערכת. חשב את הסתברויות המצב היציב, כלומר ההסתברות שיהיו במשרד סטודנטים במצב היציב. בטאו את התשובה כפונקציה של ו- בלבד וללא השארת טורים לא מחושבים. מהו התנאי לקיום מצב יציב? נמק חשבו את המספר הממוצע של הסטודנטים במשרד במצב יציב. חשבו את הזמן הממוצע שהסטודנט/ית שוהים במשרד במצב יציב. חשבו את החלק היחסי של הסטודנטים אשר עוזבים ללא קבלת שירות. פתרון שאלה 3 תורת התורים דיאגראמת המצבים המתאימה למערכת: נחשב את הסתברויות המצב היציב: 0 0 0!. 0 e ולכן 0 e 0 נציב ונקבל, i נזכר בעובדה כי! i0 i0 e, 0! א. ב. נסכם ונקבל:

7 מתכנס לכל. i0! 0 ג. למרות שבמערכת יש אינסוף מצבים, היא תמיד יציבה כי הטור ד. נחשב את המספר הממוצע של הסטודנטים במשרד במצב יציב. N i i e e i e e e e i i i i i i0 i0 i! i i! i i! i0 i! ה. נחשב את הזמן הממוצע שהסטודנט/ית שוהים במשרד במצב יציב. N T T i i i i e e e e e e i0 i i0 i i! i0 i! i0 i! e נחשב את החלק היחסי של הסטודנטים אשר עוזבים בטרם קיבלו שירות. z ולכן החלק של הסטודנטים שאינם מקבלים ההסתברות לאי-קבלת שירות הינה: i zi i i i i e e e i0 i0 i0 i0 i0 שירות הינו: e i i i i!

8